Si vous ne souhaitez plus intégrer les messages de votre autre messagerie dans Gmail, vous suffit de les dissocier.
Ouvrez le volet de l'application.
Touchez l'élément Paramètres.
Touchez le nom de votre compte Gmail.
Touchez le bouton Dissocier le compte à côté du compte de messagerie à ne plus suivre dans Gmail.
Choisissez alors si vous souhaitez garder les anciens messages dans Gmail ou bien si vous souhaitez tous les supprimer de Gmail (ils resteront présents sur le webmail de votre autre messagerie).